Question

【题目】给出下列命题： ①若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则Sn ， S2n﹣Sn ， S3n﹣S2n是等差数列；
②若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn ， S2n﹣Sn ， S3n﹣S2n是等比数列；
③若数列{an}，{bn}均为等差数列，则数列{an+bn}为等差数列；
④若数列{an}，{bn}均为等比数列，则数列{anbn}为等比数列
其中真命题的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①设等差数列an的首项为a1 ， 公差为d，则Sn=a1+a2+…+an ， S2n﹣Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，∴2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），∴Sn ， S2n﹣Sn ， S3n﹣S2n是等差数列．正确． ②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，Sn可能为0，因此不成等比数列，不正确；
③设an=a1+（n﹣1）d1 ， bn=b1+（n﹣1）d2 ， 则an+bn=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），故数列{an+bn}为等差数列，正确．
④设an=a1 ，bn=b1 ，则anbn=a1b1 ，因此数列{anbn}为等比数列，正确．
其中真命题的个数为3．
故选：C．
【考点精析】关于本题考查的等比数列的通项公式（及其变式），需要了解通项公式：才能得出正确答案．