Question

16．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（0，-2）
（2）焦点在直线3x-4y-12=0上
（3）抛物线过点A（-3，2）．

Answer 1

分析 （1）$\frac{p}{2}$=2，p=4，焦点在y轴的负半轴上，可得抛物线的标准方程；
（2）先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程；
（3）P（-3，2）在第二象限，所以满足条件的抛物线的标准方程可以是y²=-2p₁x（p₁＞0）或x²=2p₂y（p₂＞0），代入（-3，2），即可得出结论．

解答 解：（1）$\frac{p}{2}$=2，∴p=4，焦点在y轴的负半轴上，∴抛物线的标准方程为x²=-8y；
（2）对于直线方程3x-4y-12=0，
令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，
∴抛物线的焦点为（0，-3）或（4，0）．
当焦点为（0，-3）时，$\frac{p}{2}$=3，
∴p=6，此时抛物线的标准方程为x²=-12y；
当焦点为（4，0）时，$\frac{p}{2}$=4，
∴p=8，此时抛物线的标准方程为y²=16x，
∴满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x²=-12y和y²=16x；
（3）因为点（-3，2）在第二象限，
所以满足条件的抛物线的标准方程可以是y²=-2p₁x（p₁＞0）或x²=2p₂y（p₂＞0），
解得p₁=$\frac{2}{3}$，p₂=$\frac{9}{4}$  
因此，满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y²=-$\frac{4}{3}$x和x²=$\frac{9}{2}$y．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程．抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且顶点一定在原点，属于中档题．