Question

设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8、0.9，求：

(1)两人都击中目标的概率；

(2)两人中有1人击中目标的概率；

(3)在一次射击中，目标被击中的概率；

(4)两人中，至多有1人击中目标的概率.

Answer 1

分析：设出已知事件，然后利用互斥事件、对立事件、独立事件将所求事件分解成已知事件的和或积，从而得出相应的事件等式，最后利用有关概率公式求解即可.

解：设事件A={甲射击一次，击中目标}，事件B={乙射击一次，击中目标}，A与B相互独立，则P(A)=0.8，P(B)=0.9.

(1)两人都击中目标的事件为A·B，

∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.

即两人都击中目标的概率为0.72.

(2)设事件C={两人中有1人击中目标}，则C=A·+B·，∵A·与B·A互斥，且A与B独立，

∴P(C)=P(A·+B·)

=P(A·)+P(B·)

=P(A)·P()+P(B)·P()

=P(A)·［1-P(B)］+P(B)·［1-P(A)］

=0.8×0.1+0.9×0.2=0.26.

即两人中有1人击中目标的概率为0.26.

(3)设D={目标被击中}={两人中至少有1人击中目标}，本问有三种解题思路.

方法一：∵D=A·+B·+·B，则A与，B与，A与B相互独立，A·、B·、A·B彼此互斥，∴P(D)=P(A·+B·+A·B)=P(A·)+P(B·)+P(A·B)=P(A)·P()+P(B)·P(A)+

P()·P(B)=P(A)·［1-P(B)］+P(B)·［1-P(A)］+P(A)·P(B)=0.8×0.1+0.9×0.2+0.8×0.9=0.98.

即目标被击中的概率是0.98.

方法二：利用求对立事件概率的方法.

两人中至少有1人击中的对立事件为两人都未击中，所以两人中至少有1人击中的概率为P(D)=1-P(·)=1-P()·P()=1-0.2×0.1=0.98.

即目标被击中的概率是0.98.

方法三：∵D=A+B，且A与B独立，∴P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)=0.8+0.9-0.8×0.9=0.98.

故目标被击中的概率是0.98.

(4)设E={至多有1人击中目标}，则本问有两种思路：

方法一：∵E=A·+B·+·，且A与、B与、与B独立，且A·、·、·彼此互斥，

∴P(E)=P(A·+B·+·B)

=P(A·)+P(B·)+P(·)

=P(A)·P()+P(B)·P()+P()·P()

=0.8×0.1+0.9×0.2+0.1×0.2=0.28.

故至多有1人击中目标的概率为0.28.

方法二：∵=“两人都击中”，∴=A·B，且A与B独立.∴P()=P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=

0.72.∵D与对立，∴P(D)=1-P()=1-0.72=0.28.

故至多有1人击中目标的概率为0.28.

绿色通道:由上述解法可以看出，灵活、有效地将一些比较复杂的事件分解成为互斥事件和相互独立事件的和或积，列出事件等式，是求解概率问题的关键所在.