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已知sn=1+
1
2
+
1
3
+…
1
n
(n∈N*)
,设f(n)=s2n+1-sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的正整数n,不等式f(n)>[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
恒成立.
分析:根据定义,表示出f(n)=s2n+1-sn+1,从而函数f(n)为增函数,故可求函数的最小值.要使对于一切大于1的正整数n,不等式f(n)>[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
恒成立.所以只要
9
20
[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
成立即可.利用换元法可求相应参数的范围.
解答:解:由题意,f(n)=s2n+1-sn+1=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1
(n∈N*)

∵函数f(n)为增函数,∴f(n)min=f(2)=
9
20

要使对于一切大于1的正整数n,不等式f(n)>[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
恒成立.
所以只要
9
20
[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2
成立即可.
m>0.m≠1
m-1>0,m-1≠1
得m>1且m≠2
此时设[logm(m-1)]2=t,则t>0
于是
9
20
>t-
11
20
t>0
,解得0<t<1
由此得0<[logm(m-1)]2<1
解得m>
1+
5
2
且m≠2
点评:本题的考点是函数恒成立问题.主要考查利用最值法解决恒成立问题,关键是利用函数的单调性求函数的最小值,考查不等式的求解,考查学生计算能力.
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已知Sn=1+
1
2
+
1
3
+
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+…+
1
2n
(n>1,n∈N*).求证:S2n>1+
n
2
(n≥2,n∈N*).

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