Question

已知sn=1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

(n∈N*)，设f（n）=s_2n+1-s_n+1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n，不等式f(n)＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2恒成立．

Answer 1

分析：根据定义，表示出f（n）=s_2n+1-s_n+1，从而函数f（n）为增函数，故可求函数的最小值．要使对于一切大于1的正整数n，不等式f(n)＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2恒成立．所以只要

9

20

＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2成立即可．利用换元法可求相应参数的范围．

解答：解：由题意，f（n）=s_2n+1-s_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+1

(n∈N*)
∵函数f（n）为增函数，∴f(n)min=f(2)=

9

20

要使对于一切大于1的正整数n，不等式f(n)＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2恒成立．
所以只要

9

20

＞[logm(m-1)]2-

11

20

[log(m-1)m]2成立即可．
由

m＞0．m≠1 m-1＞0，m-1≠1

得m＞1且m≠2
此时设[log_m（m-1）]²=t，则t＞0
于是

9 20 ＞t- 11 20 t＞0

，解得0＜t＜1
由此得0＜[log_m（m-1）]²＜1
解得m＞

1+ 5

2

且m≠2

点评：本题的考点是函数恒成立问题．主要考查利用最值法解决恒成立问题，关键是利用函数的单调性求函数的最小值，考查不等式的求解，考查学生计算能力．