Question

如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=

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CD．
（1）求证：PE⊥平面PBC；
（2）求证：平面EDO∥平面PBC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出点A，B，P，E共面，BC⊥平面PEAB，从而得到PE⊥BC，由此能证明PE⊥平面PBC．
（2）利用面面平行的判定定理，只要判断两个平面的两条相交直线分别平行即可．

解答： 证明：（1）EA∥OP，AO?平面ABP，
∴点A，B，P，E共面，
∵PO⊥平面ABCD，PO?平面PEAB
∴平面∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PEAB，∴PE⊥BC，
由平面几何知识知PE⊥PB，
又BC∩PB=B，
∴PE⊥平面PBC．
（2）∵四边形ABCD为直角梯形，CD=OB，∴四边形ODCB是平行四边形，∴OD∥BC，
又EA=AO=

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CD，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，
∴△OAE∽△BOP，∴EO∥PB，
又EO∩EA=E，EO、OD?平面EDO，
PB∩OB=B，PB，BC?平面PBC，
∴平面EDO∥平面PBC．

点评：本题考查了线面垂直的判定和面面垂直的判定；关键是将线面关系、面面关系转化为线线关系证明．