Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求f（x）最小值；
（2）已知：0≤x₁＜x₂，求证：ex2-x1＞1+ln

x2+1

x1+1

；
（3）f（x）图象上三点A、B、C，它们对应横坐标为x₁，x₂，x₃，且x₁，x₂，x₃为公差为1 等差数列，且均大于0，比较|AB|和|BC|长大小．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的导数，根据导数的符号判断函数的单调区间，再由单调性求出函数的最小值．
（2）由（1）可得：f（x）≥1，故有 e^x＞1+ln（x+1）（x＞0）．根据 （x₂-x₁+1）＞

x2+1

x1+1

可得ex2-x1＞1+ln(x2-x1+1)＞1+ln

x2+1

x1+1

，故只需比较x₂-x₁+1与1+

x2-x1

x1+1

大小．再根据x₁＞0，可得

x2-x1

x1+1

＜x2-x1，故结论成立．
（3）先求出|AB|²和|BC|²的解析式，比较|AB|和|BC|大小，只需比较y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．作差并利用基本不等式可得y₂-y₁＜y₃-y₂，从而|AB|＜|BC|成立．

解答：解：（1）f′(x)=ex-

1

x+1

  (x＞-1)，x＞0时f′（x）＞0，-1＜x＜0时f′（x）＜0，
故f（x）在x=0时，f（x）取最小值为f（0）=1．（4分）
（2）由（1）可得：f（x）≥1，故：e^x＞1+ln（x+1）（x＞0）．∵（x₂-x₁+1）-

x2+1

x1+1

=

(x2-x1)x1

x1+1

＞0，故 （x₂-x₁+1）＞

x2+1

x1+1

．
故 ex2-x1＞1+ln(x2-x1+1)＞1+ln

x2+1

x1+1

，
只需比较x₂-x₁+1与1+

x2-x1

x1+1

大小．
∵x₁＞0，∴

x2-x1

x1+1

＜x2-x1，故结论成立．  （9分）
（3）∵|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2，|BC|2=(x3-x2)2+(y3-y2)2，
又∵f（x）在x＞0为增函数，∴y₂＞y₁，y₃＞y₂．
∴比较|AB|和|BC|大小，只需比较y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．
y2-y1-(y3-y2)=2y2-(y1+y3)=2[ex2-ln(1+x2)]-[ex1-ln(1+x1)+ex3-ln(1+x3)]
=[2ex2-(ex1+ex3)]+[ln(1+x1)(1+x3)-2ln(1+x2)]．
∵ex1+ex3＞2

ex1+x3

=2ex2，故 (1+x1)(1+x3)＜(

2+x1+x3

2

)2=(1+x2)2
∴y₂-y₁＜y₃-y₂，∴|AB|＜|BC|．（14分）

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，用放缩法证明不等式，以及利用导数求函数在闭区间上的最值，体现了化归与转化的数学思想方法，属于难题．