Question

【题目】已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=（ ）
A.0
B.﹣4
C.﹣8
D.﹣16

Answer 1

【答案】B
【解析】解：因为函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称， 所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）是奇函数，
令x=﹣3得，f（﹣3+6）+f（﹣3）=2f（3），
即f（3）﹣f（3）=2f（3），解得f（3）=0．
所以f（x+6）+f（x）=2f（3）=0，即f（x+6）=﹣f（x），
所以f（x+12）=f（x），即函数的周期是12．
所以f（2012）=f（12×168﹣4）=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣4．
故选：B．
先利用函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，得到函数y=f（x）是奇函数，然后求出f（3）=0，最后利用函数的周期性求f（2012）的值．