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4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$(n∈N+).
(Ⅰ)求a2,a3,a4的值,猜想数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)运用(Ⅰ)中的猜想,写出用三段论证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列时的大前提、小前提和结论.

分析 (Ⅰ)由数列{an}的递推公式可得a2,a3,a4,进而可猜想通项公式;
(Ⅱ)由三段论的模式和等差数列的定义可证.

解答 解:(Ⅰ)∵数列{an}中,a1=1,an+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$,
a2=$\frac{2}{3}$,a3=$\frac{1}{2}$,a4=$\frac{2}{5}$
猜想:an=$\frac{2}{n+2}$;
(Ⅱ)∵通项公式为an的数列{an},若an+1-an=d,d是常数,
则{an}是等差数列,…大前提
又∵$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$,为常数;…小前提
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列.…结论

点评 本题考查简单的逻辑推理和数列的递推公式,属基础题.

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