Question

如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若二面角P-CD-B为45°，AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC中点M，连接ME、MF．由FM∥CD，FM=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，知AE∥FM，且AE=FM，由此能证明四边形AFME是平行四边形，从而得到AF∥平面PCE．
（Ⅱ）由PA⊥平面AC，CD⊥AD，根据三垂线定理知，CD⊥PD，故∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，所以△PAD是等腰直角三角形，由AF⊥PD，AF⊥CD，得到面PEC⊥面PCD，由此入手能够求出点F到平面PCE的距离．

解答：解：（Ⅰ）取PC中点M，连接ME、MF．
∵FM∥CD，FM=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，…（2分）
∴AE∥FM，且AE=FM，
即四边形AFME是平行四边形，
∴AF∥EM，∵AF?平在PCE，
∴AF∥平面PCE．…（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，
根据三垂线定理知，CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角，
P-CD-B的平面角，则∠PDA=45°…（6分）
于是，△PAD是等腰直角三角形，
∵AF⊥PD，又AF⊥CD，
∴AF⊥面PCD．而EM∥AF，
∴EM⊥面PCD．又EM?平面PEC，
∴面PEC⊥面PCD．…（8分）
在面PCD内过F作FH⊥PC于H，
则FH为点F到平面PCE的距离．…（10分）
由已知，PD=2

2

，PF=

1

2

PD=

2

，PC=

17

．
∵△PFH∽△PCD，
∴

FH

PF

=

CD

PC

，FH=

3 34

17

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点F到平面PCE的距离的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．