Question

设S_n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a_n}的前n项和，则下列命题错误的是（ ）
A．若d＜0，则列数{S_n}有最大项
B．若数列{S_n}有最大项，则d＜0
C．若数列{S_n}是递增数列，则对任意n∈N^*，均有S_n＞0
D．若对任意n∈N^*，均有S_n＞0，则数列{S_n}是递增数列

Answer 1

【答案】分析：由题意，可根据数列的类型对数列首项的符号与公差的正负进行讨论，判断出错误选项
解答：解：对于选项A，若d＜0，则列数{S_n}有最大项是正确的，如果首项小于等于0，则S₁即为最大项，若首项为正，则所有正项的和即为最大项；
对于B选项，若数列{S_n}有最大项，则d＜0是正确的，若前n项和有最大项，则必有公差小于0；
对于选项C，若数列{S_n}是递增数列，则对任意n∈N^*，均有S_n＞0是错误的，因为递增数列若首项为负，则必有S₁＜0，故均有S_n＞0不成立，
对于选项D，若对任意n∈N^*，均有S_n＞0，则数列{S_n}是递增数列，正确，这是因为若公差小于0，一定存在某个实数k，当n＞k时，以后所有项均为负项，故不正确；
综上，选项C是错误的
故选C
点评：本题以数列的函数特性为背景考查命题真假的判断，考查了分析判断推理的能力，有一定的探究性