Question

17．定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意x，y总有f（x+y）=f（x）f（y），f（x）不恒为零，当x＞0时，f（x）＞1．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）若f（2）=2，解不等式f（5x-x²）＞8；
（3）设A={（x，y）|f（x²）f（y²）≤f（1）}，且B={（x，y）|f（ax-y+$\sqrt{2}$）=1，a∈R}，若A∩B=∅，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x₂＞x₁，则x₂-x₁＞0，由题意可得f（x₂-x₁）＞1，再由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＞0，可得函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（2）f（5x-x²）＞8，函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，可得5x-x²＞6，即可得出结论；
（3）化简A为 {（x，y）|x²+y²≤1 }，表示一个以原点为圆心、半径等于1的圆面（包含边界）．化简B为 {（x，y）|ax-y+$\sqrt{2}$=0 }，表示一条过点（0，$\sqrt{2}$）的一条直线．根据圆和直线相切或相离，可得$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≥1，由此解得a的范围．

解答 解：（1）设x₂＞x₁＞0，则x₂-x₁＞0，由题意可得f（x₂-x₁）＞1，f（x₁）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＞0，
故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（2）∵f（2）=2，∴f（6）=8，
∵f（5x-x²）＞8，函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴5x-x²＞6，
∴x²-5x+6＜0，
∴2＜x＜3，
∴不等式f（5x-x²）＞8的解集为（2，3）；
（3）A={（x，y）|f（x²）f（y²）≤f（1）}={（x，y）|f（x²+y²）≤f（1）}={（x，y）|x²+y²≤1 }，表示一个以原点为圆心、半径等于1的圆面（包含边界）．
B={（x，y）|f（ax-y+$\sqrt{2}$）=f（0）}={（x，y）|ax-y+$\sqrt{2}$=0 }，表示一条过点（0，$\sqrt{2}$）的一条直线．
若A∩B=∅，则圆和直线相切或相离，故有$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≥1，解得-1≤a≤1．

点评 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．