Question

15．如图1，矩形APCD中，AD=2AP，B为PC的中点，将△APB折沿AB折起，使得PD=PC，如图2．
（1）若E为PD中点，证明：CE∥平面APB；
（2）证明：平面APB⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）取PA中点F，连接EF，BF，由已知条件推导出EFBC为平行四边形，由此能证明CE∥平面APB．
（2）取CD中点G，AB中点H，连接PG，HG，PH，由已知条件推导出PG⊥CD，PH⊥AB，BC⊥CD，从而HG⊥CD，由线面垂直得CD⊥PH．由此能证明PH⊥平面ABCD．

解答 证明：（1）取PA中点F，连接EF，BF，
因为E为PD中点，所以EF平行且等于$\frac{1}{2}$AD，
因为BCEF平行且等于$\frac{1}{2}$AD，
所以EFEF平行且等于BC，所以EFBC为平行四边形，
所以BF∥CE，…（4分）
因为BF?平面APB，CE不包含于平面APB，
所以CE∥平面APB．…（6分）
（2）取CD中点G，AB中点H，连接PG，HG，PH，
∵PC=PD，CD中点G，∴PG⊥CD，
∵△APB是等腰三角形，H是AB中点，
∴PH⊥AB，HG∥AD．∵BC∥AD，BC⊥CD，∴HG⊥CD，…（10分）
HG∩PG=G，HG?平面PHG，PG?平面PHG，
∴CD⊥平面PHG．PH?平面PHG，∴CD⊥PH．
∵AB?平面ABCD，CD?平面ABCD，AB和CD相交，
∴PH⊥平面ABCD．
又PH?平面APB，
∴平面APB⊥平面ABCD． …（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．