某市规定.高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据.按时间段[75.80).[80.85).[85.90).[90.95).[95.100]进行统计.其频率分布直方图如图所示．(1)求抽取的200位学生中.参加社区服务时间不少于90小时的学生人数.并估计从全市高中学生中任意选取一人.其参加社区� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

分析（1）先求出符合条件的学生的人数，从而求出参加社区服务时间不少于90小时的概率估计；
（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，代入公式求出相对应的概率，列出随机变量ξ的分布列，从而求出期望值．

解答解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[90，95）小时的学生人数为60（人），
参加社区服务时间在时间段[95，100]小时的学生人数为20先求出（人）．
所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．
所以从全市高中学生中任意选取一人，
其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为$P=\frac{60+20}{200}=\frac{80}{200}=\frac{2}{5}$．
（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，
其参加社区服务时间不少于90小时的概率为$\frac{2}{5}$．
由已知得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．
所以$P（ξ=0）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^0}•{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$；
$P（ξ=1）=C_3^1{（\frac{2}{5}）^1}•{（\frac{3}{5}）^2}=\frac{54}{125}$；
$P（ξ=2）=C_3^2{（\frac{2}{5}）^2}•{（\frac{3}{5}）^1}=\frac{36}{125}$；
$P（ξ=3）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^3}•{（\frac{3}{5}）^0}=\frac{8}{125}$．
随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

因为ξ～$B（3，\frac{2}{5}）$，所以$Eξ=np=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．

点评本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望值，是一道中档题．

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