Question

7．设实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$．若z=3x+y的最大值是最小值的2倍，则a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值，再列方程求出a即可

解答 解：作图可知，若可行区域存在，则必有a≤1，故排除BD；
由z=3x+y，得y=-3x+z，
平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点B（1，1）时，直线y=-3x+z的截距最大，
此时z最大．最大为z_max=4，
平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点A（a，a）时，直线y=-3x+z的截距最小，
此时z最小为z_min=4a．
∵z=3x+y的最大值是最小值的2倍，
由2×4a=4，解得$a=\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．