Question

已知函数f（x）=log_ax，g（x）=log_a（2x+m-2），其中x∈[1，2]，a＞0且a≠1，m∈R．
（I）当m=4时，若函数F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，求a的值；
（Ⅱ）当0＜a＜l时，f（x）≥2g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）将m=4代入F（x），求出其定义域，先判断其为增函数，根据题意函数F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，列出等式，求a的值；
（Ⅱ）0＜a＜l，求出其定义域，可以令h（x）=4x²+（4m-9）x+（m-2）²，对其进行配方，分类讨论，求出h（x）的最小值，让其大于0即可求实数m的取值范围；
解答：解：（I）由题意，m=4时，F（x）=f（x）+g（x）=log_ax+log_a（2x+2）=，
又x∈[1，2]，则2x²+2x∈[4，12]．
而函数F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，
∴a＞1，解得a=2；
（Ⅱ）由题意，0＜a＜1时，∵f（x）≥2g（x），
∴
⇒，
⇒，
令h（x）=4x²+（4m-9）x+（m-2）²=4[x-（-）]²+（m-2）²-，
（1）当0＜m＜时，1＜-＜，
函数h（x）min=（m-2）²-≥0，
解得m无解；
（2）当m≥时，函数h（x）在x∈[1，2]上的单调递减，
则h（x）_min=h（1）=m²-1≥0⇒m≥1．
综上，实数m的取值范围为[1，+∞）．
点评：此题主要考查对数函数的性质及其应用，解题的过程中利用到了转化的思想，考查的知识点比较大，是一道难题；