Question

11．现代城市大多是棋盘式布局（如上海道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）．在直角坐标平面内，我们定义A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点间的“直角距离”为：D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”
为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）定义：“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点A（1，3），B（1，1），C（3，3），求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象；
（3）设P（x，y），集合B表示的是所有满足D_（PO）≤1的点P所组成的集合，
点集A={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，
求集合Q={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|x|+|y|=2，从而写出格点即可；
（2）设定点坐标为（a，b），定值为r，从而可得“圆”的方程为|x-a|+|y-b|=r，从而解得“圆”的方程为|x-2|+|y-2|=2，作其图象即可；
（3）由题意，B={（x，y）||x|+|y|≤1}，从而可得|x-x₁|+|y-y₁|≤1，从而可得点集Q表示以点A内的点为定点，1为定长的“圆”及其内部，从而求面积．

解答 解：（1）（0，2）、（1，1）、（2，0）、（1，-1）、（0，-2）、（-1，-1）、（-2，0）、（-1，1）；
（2）设定点坐标为（a，b），定值为r，
则“圆”的方程为|x-a|+|y-b|=r．
则$\left\{{\begin{array}{l}{|a-1|+|b-3|=r}\\{|a-1|+|b-1|=r}\\{|a-3|+|b-3|=r}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\\{r=2}\end{array}}\right.}\right.$．
“圆”的方程为|x-2|+|y-2|=2．
作其图象如下，
．
（3）B={（x，y）||x|+|y|≤1}，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}+{x}_{2}}\\{y={y}_{1}+{y}_{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=x-{x}_{1}}\\{{y}_{2}=y-{y}_{1}}\end{array}\right.$，
∵（x₂，y₂）∈B，
∴|x₂|+|y₂|≤1，
即|x-x₁|+|y-y₁|≤1，
∵点集A表示以原点为中心，边长为2的正方形及其内部，
∴点集Q表示以点A内的点为定点，1为定长的“圆”及其内部．
面积$S=4×4-\frac{1}{2}×1×1×4=14$．

点评 本题考查了学生的接受能力与应用能力，同时考查了学生的作图能力．