Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；

（Ⅱ）求点D到平面ACE的距离.

Answer 1

（Ⅰ） 垂直   （Ⅱ） 

解析:

（Ⅰ）因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE.                           （2分

因为平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，

从而BC⊥AE.                                                           （5分）

于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE.                                 （6分）

（Ⅱ）方法一：连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，所以点D与点B到平面ACE的距离相等.

因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离.                  （8分）

因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.

又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.

因为AB＝2，所以BE＝.                          （9分）

在Rt△CBE中，.                      （10分）

所以.

故点D到平面ACE的距离是.                            （12分）

方法二：过点E作EG⊥AB，垂足为G，因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD.

因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形，从而G为AB的中点.又AB＝2，所以EG＝１.                                        （8分）

因为AE⊥平面BCE ，所以AE⊥EC.

又AE＝BE＝，.                    （10分）

设点D到平面ACE的距离为ｈ，因为Ｖ_Ｄ－ACE＝V_E－ACD，则.

所以，故点D到平面ACE的距离是. （12分）