Question

一动圆与已知圆O₁（x+2）²+y²=1外切，与圆O₂（x-2）²+y²=49内切，
（1）求动圆圆心的轨迹方程C；
（2）已知点A（2，3），O（0，0）是否存在平行于OA的直线 l与曲线C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据两圆的方程，算出它们的圆心分别为O₁（-2，0）、O₂（2，0），半径分别为1和7．设动圆的圆心为M、半径为R，根据两圆相切的性质证出|O₁M|+|O₂M|=（r₁+R）+（r₂-R）=r₁+r₂=8（定值），从而得到圆心M在以O₁、O₂为焦点的椭圆上运动，结合题意算出a、b之值，可得动圆圆心的轨迹方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）求出直线OA的斜率为k=

3

2

，设符合题意的直线l方程为y=

3

2

x+t，将l方程与椭圆

x2

16

+

y2

12

=1消去y得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆有公共点，利用根的判别式解出-4

3

≤t≤4

3

．再由直线OA与l的距离等于4，利用平行线之间的距离公式列式算出t=±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，得到矛盾，故符合题意的直线l不存在．

解答：解：（1）∵圆O₁的方程为：（x+2）²+y²=1，
∴圆O₁的圆心为（-2，0），半径r₁=1；同理圆O₂的圆心为（2，0），半径r₂=7．
设动圆的半径为R、圆心为M，圆M与圆O₁外切于点E，圆M与圆O₂内切于点F，连结O₁M、O₂F，
则E点在O₁M上，M在O₂F上．
∵|O₁M|=|O₁E|+|EM|，|O₂M|=|O₂F|-|MF|，
∴|O₁M|=r₁+R，|O₂M|=r₂-R，
两式相加得：|O₁M|+|O₂M|=r₁+r₂=1+7=8（定值），
∴圆心M在以O₁、O₂为焦点的椭圆上运动，
由2a=8，c=2，得a=4，b=

a2-c2

=2

3

，
椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
即动圆圆心的轨迹方程为C：

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）直线OA的斜率为k=

3-0

2-0

=

3

2

，则平行于OA的直线l的斜率也是

3

2

，
假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=

3

2

x+t，
由

y= 3 2 x+t x2 16 + y2 12 =1

消去y，得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直线l与椭圆有公共点，
∴△=（3t）²-4×3×（t²-12）≥0，解得-4

3

≤t≤4

3

，
另一方面，由直线OA：

3

2

x-y=0与l：

3

2

x-y+t=0的距离为

|t|

( 3 2 )2+(-1)2

=4，解之得t=±2

13

，
由于±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，所以符合题意的直线l不存在．

点评：本题求动点的轨迹方程，并探索所得轨迹与直线l是否有公共点的问题．着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系、平行线之间的距离公式、直线与椭圆的位置关系和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．