Question

如图，在正四棱锥S-ABCD中，AB=8

2

，SA=10，M、N、O分别是SA、SB、BD的中点．
（1）设P是OC的中点，证明：PN∥平面BMD；
（2）求直线SO与平面BMD所成角的大小；
（3）在△ABC内是否存在一点G，使NG⊥平面BMD，若存在，求线段NG的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空间坐标系，根据题意求出平面BMD的法向量

n

，因为

PN

•

n

=0，进而得到线面平行．
（2）由（1）可得平面BMD的法向量，再求出直线OS所在的向量，利用向量之间的运算求出两个向量的夹角，再转化为线面角．
（3）若存在点G，设G点坐标为（x₁，y₁，0），结合题意可得：

n

∥

NG

，即可求出点G的坐标，再检验点G的坐标满足题意，进而求出NG的长度．

解答：解：（1）以点O为原点，分别为OB、OC、OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，

则O(0，0，0)，A(0，-8，0)，B(8，0，0)，P(0，4，0)， S(0，0，6)，M(0，-4，3)，N(4，0，3) OM =(0，-4，3)， OB =(8，0，0，)， 设平面BMD的一个法向量为 n =(x，y，z) 则 n • OM =0 n • OB =0 即 -4y+3z=0 8x=0 令y=3得 n =(0，3，4)

又因为

PN

=(4，-4，3)，
所以

PN

•

n

=0，
又∵直线PN不在平面BMD内
∴PN∥平面BMD．   …（4分）
（2）设直线SO与平面BMD所成角为θ，
所以sinθ=

| OS • N |

| OS || n |

=

24

6×5

=

4

5

，
∵θ∈(0，

π

2

)∴θ=arcsin

4

5

．…（8分）
（3）若存在点G，设G点坐标为（x₁，y₁，0），

则 NG =(x1-4，y1，-3) ∵NG⊥平面BMD∴ NG ∥ n 由此得x1=4，y1=- 9 4

所以点G坐标为(4，-

9

4

，0)…（10分）
在平面直角坐标系xoy中，△ABC的内部区域可表示不等式组：

x＞0 x+y＜8 x-y＞8

，
经检验点G的坐标满足上述不等式组．

又 NG =(0，- 9 4 ，-3) ∴| NG |= (- 9 4 )2+(-3)2 = 15 4

故在△ABC内存在一点G，使NG⊥平面BMD，且NG=

15

4

…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定以及直线与平面垂直的判定，夹角此类问题的关键是熟练掌握直线与平面夹角的定义，及空间线线、线面垂直关系之间的互相转化，或者建立空间直角坐标系利用空间向量的有关知识解决问题．