Question

已知函数
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若且关于x的方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*用数学归纳法证明：a_n≤2ⁿ-1

Answer 1

【答案】分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．
（3）设h（x）=lnx-x+1然后求导，可判断函数h（x）的单调性，再由数学归纳法得证．
解答：解：（I）f'（x）=-（x＞0）
依题意f'（x）≥0在x＞0时恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
则a≤=在x＞0恒成立，
即a≤（x＞0）
当x=1时，取最小值-1
∴a的取值范围是（-∞，-1]．

（II）a=-，f（x）=-x+b∴
设g（x）=则g'（x）=列表：

∴g（x）极小值=g（2）=ln2-b-2，g（x）极大值=g（1）=-b-，
又g（4）=2ln2-b-2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则，得ln2-2＜b≤-．

（III）设h（x）=lnx-x+1，x∈[1，+∞），则h'（x）=
∴h（x）在[1，+∞）为减函数，且h（x）_max=h（1）=0，故当x≥1时有lnx≤x-1．
∵a₁=1
假设a_k≥1（k∈N^*），则a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故a_n≥1（n∈N^*）
从而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1∴1+a_n+1≤2（1+a_n）≤…≤2ⁿ（1+a₁）
即1+a_n≤2ⁿ，∴an≤2ⁿ-1
点评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．