Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC= ，求C．

Answer 1

【答案】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac， ∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴cosB= =﹣ ，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC= ，cos（A+C）= ，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC= +2× = ，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°
【解析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握两角和与差的正弦公式：；余弦定理:;;才能正确解答此题．