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已知函数f(x)=lnx,g(x)=
3
2
-
a
x
(a为实常数)
(1)当a=1时,求函数φ(x)=f(x)-g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值;
(2)若方程e2f(x)=g(x)(其中e=2.71828…)在区间[
1
2
,1]上有解,求实数a的取值范围;
(3)证明:
5
4
n+
1
60
n
k=1
[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)]<2n+1,n∈N*
(参考数据:ln2≈0.6931)
分析:(1)由已知中函数f(x)=lnx,g(x)=
3
2
-
a
x
,我们易求出当a=1时,函数φ(x)的解析式及其导函数的解析式,利用导数法,判断出函数的单调性,即可得到当x=4时,φ(x)取最小值;
(2)方程e2f(x)=g(x)在区间[
1
2
,1]上有解,可转化为方程a=
3
2
x-x3
在区间[
1
2
,1]上有解,构造函数h(x)=
3
2
x-x3
,x∈[
1
2
,1],利用导数法求出函数的值域,即可得到实数a的取值范围,
(3)令ak=2f(2k+1)-f(k)-f(k+1),利用放缩法及裂项法,我们可以求出
n
k=1
ak
5
4
n+
1
60
,构造函数F(x)=lnx-x+2(x≥4)利用导数法,可以判断出函数的单调性,进而判断出
n
k=1
ak
<2n+1,综合讨论结果,即可得到结论.
解答:解:(1)当a=1时,φ(x)=f(x)-g(x)=lnx+
1
x
-
3
2

则φ′(x)=
1
x
-
1
x2
=
x-1
x2

∵在区间(0,1]上,φ′(x)≤0,在区间[1,+∞),φ′(x)≥0,
∴φ(x)在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
∴在x∈[4,+∞)上,当x=4时,φ(x)的最小值为φ(4)=ln4-
5
4
.(4分)
(2)∵方程e2f(x)=g(x)在区间[
1
2
,1]上有解
V即e2lnx=
3
2
-
a
x
在区间[
1
2
,1]上有解
即a=
3
2
x-x3
在区间[
1
2
,1]上有解
令h(x)=
3
2
x-x3
,x∈[
1
2
,1],
∴h′(x)=
3
2
-3x2

∵在区间[
1
2
2
2
]上,h′(x)≥0,在区间[
2
2
,1]上,h′(x)≤0,
∴h(x)在区间[
1
2
2
2
]上单调递增,在区间[
2
2
,1]上单调递减,
又h(1)<h(
1
2
).
∴h(1)≤h(x)≤h(
2
2

1
2
≤h(x)≤
2
2

故a∈[
1
2
2
2
]…(9分)
(3)设ak=2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)=2ln(2k+1)-lnk-ln(k+1)=ln
4k2+4k+1
k(k+1)

由(1)知,φ(x)的最小值为φ(4)=ln4-
5
4
>0,
∴lnx>
3
2
-
1
x
(x≥4)
又∵
4k2+4k+1
k(k+1)
>4,
∴ak
3
2
-
4k2+4k+1
k(k+1)
=
5
4
+
1
4
1
(2k+1)2
5
4
+
1
4
1
(2k+1) (2k+3)
=
5
4
+
1
8
•(
1
2k+1 
-
1
2k+3
)

n
k=1
ak
5
4
n+
1
8
•(
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2n+1 
-
1
2n+3
)
=
5
4
n+
1
8
•(
1
3
-
1
2n+3
)
5
4
n+
1
8
•(
1
3
-
1
5
)
=
5
4
n+
1
60

构造函数F(x)=lnx-x+2(x≥4),则F′(x)=
1-x
x

∴当x≥4时,F′(x)<0.
∴F(x)在[4,+∞)上单调递减,
即F(x)≤F(4)=ln4-2=2(ln2-1)<0.
∴当x>4时,lnx<x-2.  
∴ak=ln
4k2+4k+1
k(k+1)
<4+
1
k
-
1
k+1
-2,
即ak<2+
1
k
-
1
k+1

n
k=1
ak
<2n+1-
1
n+1
<2n+1.
5
4
n+
1
60
n
k=1
[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)]<2n+1,n∈N*
.(14分)
点评:本题考查的知识点是导数在最大值,最小值问题中的应用,导数在证明函数单调性时的应用,函数恒成立问题,不等式与函数的综合应用,其中(1)的关键是利用导数法判断出函数的单调性,(2)的关键是利用导数法,求出函数的最值,进而得到函数的值域,而(3)的关键是利用不等式证明的放缩法确定出
n
k=1
ak
5
4
n+
1
60
.本题综合了函数,导数,数列应用中的难点,难度较大.
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2(x-1)
x+1
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x1+x2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.

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1
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已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
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6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
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