Question

如图，椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点为F₁，F₂，上顶点为A，离心率为，点P为第一象限内椭圆上的一点，若S△PF₁A∶S△PF₁F₂＝2∶1，则直线PF₁的斜率为________．

Answer 1

因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，即a＝2c，则A(0，b)，F₂(c,0)，
设直线PF₁的斜率为k(k>0)，则直线PF₁的方程为y＝k(x＋c)，因为S△PF₁A∶S△PF₁F₂＝2∶1，即S△PF₁A＝2S△PF₁F₂，即·|PF₁|·＝2×·|PF₁|·，所以|kc－b|＝4|kc|，解得b＝－3kc(舍去)或5kc，又a²＝b²＋c²，即a²＝25k²c²＋c²，所以4c²＝25k²c²＋c²，解得k²＝，所以k＝.