【题目】如图,在五面体中,四边形是边长为的正方形,平面⊥平面, .
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ) 求证:平面⊥平面;
(Ⅲ) 在线段上是否存在点,使得⊥平面? 说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)存在点N符合题意
【解析】
(Ⅰ) 推导出AB∥CD.由此能证明CD∥平面ABFE.(Ⅱ) 推导出AE⊥DE,AB⊥AD,从而AB⊥平面ADE,进而 AB⊥DE,由此能证明DE⊥平面ABFE,从而平面ABFE⊥平面CDEF.(Ⅲ)取CD的中点N,连接FN,推导出四边形EDNF是平行四边形,从而FN∥DE,由DE⊥平面ABFE,能证明FN⊥平面ABFE.
证明:(Ⅰ)在五面体中,因为四边形是正方形,
所以.
因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅱ)因为,,
所以,所以,即.
因为四边形是正方形,所以.
因为平面⊥平面,平面 平面,
所以⊥平面.
因为,所以⊥.
因为所以⊥平面
因为,所以平面⊥平面.
(Ⅲ)在线段上存在点,使得⊥平面.
证明如下:
取的中点,连接.
由(Ⅰ)知,,
,
所以.
因为
所以.
所以四边形是平行四边形.
所以.
由(Ⅱ)知,⊥平面,
所以.
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【题目】从某工厂生产的某种产品中抽取1000件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表)
(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中以近似为样本平均数,近似为样本方差.
(ⅰ)利用该正态分布,求;
(ⅱ)某用户从该工厂购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(127.6,140)的产品件数,利用(ⅰ)的结果,求.
附:.若,则,.
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【题目】第35届牡丹花会期间,我班有5名学生参加志愿者服务,服务场所是王城公园和牡丹公园.
(1)若学生甲和乙必须在同一个公园,且甲和丙不能在同一个公园,则共有多少种不同的分配方案?
(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园,设分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数,记,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆过点 ,且离心率为.设为椭圆的左、右顶点,P为椭圆上异于的一点,直线分别与直线相交于两点,且直线与椭圆交于另一点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线与的斜率之积为定值;
(Ⅲ)判断三点是否共线,并证明你的结论.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设x∈[1,2]时,函数,是否存在实数m使得g(x)的最小值为6,若存在,求m的取值;若不存在,说明理由.
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【题目】为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果,现对200只动物进行调研,并得到如下数据:
未发病 | 发病 | 合计 | |
未注射疫苗 | 20 | 60 | 80 |
注射疫苗 | 80 | 40 | 120 |
合计 | 100 | 100 | 200 |
(附:)
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
则下列说法正确的:( )
A.至少有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
B.至多有99%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
C.至多有99.9%的把握认为“发病与没接种疫苗有关”
D.“发病与没接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%
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