Question

设命题p：函数f（x）=x²-2mx+1在[1，+∞）上是增函数，命题q：函数f（x）=lg（x²-mx+1）的定义域为R．
（1）若m=2，试判断命题p的真假；
（2）若命题p与命题q一真一假，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把m=2代入函数解析式，直接举例进行判断；
（2）求出使函数f（x）=x²-2mx+1在[1，+∞）上是增函数的m的取值范围，也就是命题p为真命题的m的范围，取其补集得到使命题p为假命题的m的取值范围，同样求出使函数y=lg（x²-mx+1）的定义域是R的m的取值范围，也就是使命题q为真命题的m的取值范围，取其补集得到命题q为假命题的m的取值范围，取交集后在取并集运算．

解答：解：（1）当m=2时，f（x）=x²-4x+1，f（1）=1²-4×1+1=-2，f（2）=2²-4×2+1=-3，
f（1）＞f（2），所以命题p为假命题；
（2）因为f（x）=x²-2mx+1的对称轴方程为x=m，若p为真命题，则m≤1；p为假命题，m＞1．
若q是真命题，即f（x）=lg（x²-mx+1）的定义域为R，则（-m）²-4＜0，即-2＜m＜2；
若q是假命题，则m≤-2或m≥2．
当p真q假时，m≤-2；当p假q真时，1＜m＜2．
所以命题p与命题q一真一假的实数m的取值范围是（-∞，-2]∪（1，2）．

点评：本题考查了复合命题的真假判断，考查了二次函数单调性的判断方法及对数型函数定义域的求法，解答过程运用了补集思想，关键是要熟记复合命题的真值表，属基础题．