Question

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与x-3y=0垂直，又f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，则实数m的取值范围是（　　）

• A、m≤-3
• B、m≥0
• C、m＜-3或m＞0
• D、m≤-3或m≥0

Answer 1

分析：求出f′（x），根据切线与x-3y=0垂直得到切线的斜率为-3，得到f′（-1）=-3，把切点代入f（x）中得到f（-1）=2，两者联立求出a和b的值，确定出f（x）的解析式，然后求出f′（x）大于等于0时x的范围为（-∞，-2]或[0，+∞）即为f（x）的增区间根据f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，得到关于m的不等式，即可求出m的取值范围．

解答：解：f′（x）=3ax²+2bx，因为函数过（-1，2），且切线与x-3y=0垂直得到切线的斜率为-3，
得到：

f(-1)=2 f′(-1)=-3

即

-a+b=2 3a-2b=-3

解得：

a=1 b=3

，则f（x）=x³+3x²
f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）≥0解得：x≥0或x≤-2，即x≥0或x≤-2时，f（x）为增函数；
所以[m，m+1]?（-∞，-2]或[m，m+1]?[0，+∞）即m+1≤-2或m≥0，
解得m≤-3或m≥0
故选D

点评：考查学生掌握两条直线垂直时斜率的关系，会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调性．本题的突破点是确定函数的解析式．