Question

正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值为（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．

解答：解：不妨设正四面体为A-BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=

3

且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角
在△ABE中，cos∠AEB=

AE2+BE2-AB2

2AE•BE

=

1

3

故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是

1

3

故选A．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．