Question

9．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=4，AB=4$\sqrt{3}$，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=2．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求证：MN∥平面PDC；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥PC．
（2）推导出DM⊥AC，AD=CD，DM=2，$\frac{BN}{PN}$=$\frac{BM}{MD}$，从而MN∥PD，由此能证明MN∥平面PDC．
（Ⅲ）以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC．
（2）在正△ABC中，BM=6，
在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD，
∠ADC=120°，∴DM=2，
∴$\frac{BM}{MD}$=$\frac{3}{1}$，
在Rt△PAB中，PA=4，AB=4$\sqrt{3}$，PB=8．
∴$\frac{BN}{PN}$=$\frac{BM}{MD}$=$\frac{3}{1}$，∴MN∥PD，
又MN?平面PDC，PD?平面平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
解：（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∴B（4$\sqrt{3}$，0，0），C（2$\sqrt{3}$，6，0），D（0，4，0），P（0，0，4），
$\overrightarrow{PC}$=（2$\sqrt{3}$，6，-4），$\overrightarrow{PB}$=（4$\sqrt{3}$，0，-4），
由（2）知$\overrightarrow{DB}$=（4$\sqrt{3}$，-4，0）是平面PAC的法向量，
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x+6y-4z=0}\\{4\sqrt{3}x-4z=0}\end{array}\right.$，取z=3，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，3$），
设二面角A-PC-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{8}{\sqrt{64}•\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
∴二面角A-PC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考百线面平行的证明，考查二面角的余弦值，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．