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9.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=4,AB=4$\sqrt{3}$,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=2.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求证:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A-PC-B的余弦值.

分析 (1)推导出BD⊥AC,PA⊥BD,从而BD⊥平面PAC,由此能证明BD⊥PC.
(2)推导出DM⊥AC,AD=CD,DM=2,$\frac{BN}{PN}$=$\frac{BM}{MD}$,从而MN∥PD,由此能证明MN∥平面PDC.
(Ⅲ)以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值.

解答 证明:(1)∵△ABC是正三角形,M是AC中点,
∴BM⊥AC,即BD⊥AC,
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,
∴BD⊥PC.
(2)在正△ABC中,BM=6,
在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD,
∠ADC=120°,∴DM=2,
∴$\frac{BM}{MD}$=$\frac{3}{1}$,
在Rt△PAB中,PA=4,AB=4$\sqrt{3}$,PB=8.
∴$\frac{BN}{PN}$=$\frac{BM}{MD}$=$\frac{3}{1}$,∴MN∥PD,
又MN?平面PDC,PD?平面平面PDC,
∴MN∥平面PDC.
解:(Ⅲ)∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,
∴AB⊥AD,以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
∴B(4$\sqrt{3}$,0,0),C(2$\sqrt{3}$,6,0),D(0,4,0),P(0,0,4),
$\overrightarrow{PC}$=(2$\sqrt{3}$,6,-4),$\overrightarrow{PB}$=(4$\sqrt{3}$,0,-4),
由(2)知$\overrightarrow{DB}$=(4$\sqrt{3}$,-4,0)是平面PAC的法向量,
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x+6y-4z=0}\\{4\sqrt{3}x-4z=0}\end{array}\right.$,取z=3,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3},1,3$),
设二面角A-PC-B的平面角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{8}{\sqrt{64}•\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$,
∴二面角A-PC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$.

点评 本题考查异面直线垂直的证明,考百线面平行的证明,考查二面角的余弦值,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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