Question

19．过抛物线x²=4y的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是y=$\frac{1}{2}$x²+1．

Answer 1

分析 将直线方程代入到抛物线方程，利用中点坐标公式，再消参即可．

解答 解：设直线方程可以写成 y=k•x+1代入抛物线方程，得到0.25x²-kx-1=0，
所以中点坐标x_m=0.5（x₁+x₂）=2k，
y_m=0.5（y₁+y₂）=0.5（kx₁+kx₂+2）=0.5k（x₁+x₂）+1=kx_m+1=$\frac{{{x}_{m}}^{2}}{2}$+1，
所以轨迹方程就是y=$\frac{1}{2}$x²+1，
故答案为：y=$\frac{1}{2}$x²+1．

点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查轨迹问题，属于中档题．