Question

（本小题满分14分）如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点。
（Ⅰ）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（Ⅱ）求点C到平面A₁BD的距离.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析
（Ⅱ）

（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．…………………………………………………………（3分）
连结，在正方形中，分别为的中点，
，
平面，
在正方形中，，
而平面．……………………………………………（7分）
（Ⅱ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，
．点到平面的距离为．…………………（14分）