【题目】在平面直角坐标系中有如下正确结论:为曲线(、为非零实数,且不同时为负)上一点,则过点的切线方程为.
(1)已知为椭圆上一点,为过点的椭圆的切线,若直线与直线的斜率分别为与,求证:为定值;
(2)过椭圆上一点引椭圆的切线,与轴交于点.若为正三角形,求椭圆的方程;
(3)求与圆及(2)中的椭圆均相切的直线与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
【解析】
(1)根据已知题目中所给的结论结合斜率公式可以证明出为定值;
(2) 由题目中的结论求出椭圆切线方程,求出点的坐标,根据等边三角形三边相等列出方程组,即可求出的值;
(3)设出直线的方程,根据与圆相切和(2)中椭圆相切,得到两个等式,求出三角形的面积表达式,最后利用基本不等式可以求出三角形的面积的取值范围.
(1) 为椭圆上一点,为过点的椭圆的切线,所以的方程为:,由题意可知:,所以
为定值;
(2)设点的坐标为:,由已知所给的结论可知:过椭圆上一点引椭圆的切线的方程为:,与题意可知:点的坐标为:.
.
因为为正三角形,所以三边相等,因此有方程组:
,因为点在椭圆上,所以
椭圆的方程为;
(3)设直线的方程为:,由题意可知:.与两个坐标轴的交点坐标分别为:,所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为:.
因为直线与相切,所以方程组:有唯一解,
即方程有唯一实根,故,
即.
因为直线与相切,所以方程组:有唯一解,
即方程有唯一实根,故,
即,而,所以
因为,所以,因为,所以这个不等式恒成立.
(当且仅当时取等号,即
取等号),所以直线与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围为.
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【题目】动点与点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程
(2)设点,动点在曲线上运动时,的最短距离为,求的值以及取到最小值时点的坐标
(3)设为曲线的任意两点,满足(为原点),试问直线是否恒过一个定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由
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【题目】已知数列满足: , , .
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,且满足,试确定的值,使得数列为等差数列;
(3)将数列中的部分项按原来顺序构成新数列,且,求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列.
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【题目】为保护农民种粮收益,促进粮食生产,确保国家粮食安全,调动广大农民粮食生产的积极性,从2004年开始,国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014~2018年的数据进行调查,发现某地区发放粮食补贴额(亿元)与该地区粮食产量(万亿吨)之间存在着线性相关关系.统计数据如下表:
年份 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
补贴额亿元 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
粮食产量万亿吨 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)请根据如表所给的数据,求出关于的线性回归直线方程;
(2)通过对该地区粮食产量的分析研究,计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元,请根据(1)中所得的线性回归直线方程,预测2019年该地区的粮食产量.
(参考公式:,)
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【题目】对于曲线C所在平面上的定点,若存在以点为顶点的角,使得对于曲线C上的任意两个不同的点A,B恒成立,则称角为曲线C相对于点的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点的“确界角”.曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是 _________.
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【题目】某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床,A型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年).若第 1 年A型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年A型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用()表示A型车床在第n年创造的价值.
(1)求数列的通项公式;
(2)记为数列的前n项的和,企业经过成本核算,若 万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?(已知:若正数数列是单调递减数列,则数列也是单调递减数列).
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【题目】已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点的直线与椭圆交于,两点,求的取值范围.
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【题目】某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,,,,,(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.
(1) 经计算估计这组数据的中位数;
(2)现按分层抽样从质量为,的芒果中随机抽取个,再从这个中随机抽取个,求这个芒果中恰有个在内的概率.
(3)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有个,经销商提出如下两种收购方案:
A:所以芒果以元/千克收购;
B:对质量低于克的芒果以元/个收购,高于或等于克的以元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
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【题目】上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级,各等级换算成分数如表所示:
等级 | A | B | C | D | E | ||||||
分数 | 70 | 67 | 64 | 61 | 58 | 55 | 52 | 49 | 46 | 43 | 40 |
上海某高中2018届高三班选考物理学业水平等级考的学生中,有5人取得成绩,其他人的成绩至少是B级及以上,平均分是64分,这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为______人
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