Question

【题目】如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD中，AB=1，AC= ，BC=2， ∴AB2+AC2=BC2 ， ∴AB⊥AC，
∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥AC，
又∵AA1∩AB=A，AA1 ， AB平面ABB1A1 ，
∴AC⊥平面ABB1A1 ．
（Ⅱ）解：过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，
由（Ⅰ）可知，AC⊥平面DCC1D1 ，
∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，
∵CC1=BB1=2，CD=AB=1，∴CP= = = ，
∴tan = ，∴cos ，
∴二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）推导出AB⊥AC，AA1⊥AC，由此能证明AC⊥平面ABB1A1 ． （Ⅱ）过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，则AC⊥平面DCC1D1 ， 从而∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．