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已知点P(-3,0),点A在y轴上,点Q在x轴非负半轴上,点M在直线AQ上,满足·=0,=-.

(1)当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹C的方程;

(2)设轨迹C的准线为l,焦点为F,过F作直线m交轨迹C于G,H两点,过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n,且n∩l=E,试问点E,O,H(O为坐标原点)是否在同一条直线上?并说明理由.

(1)M点的轨迹方程为y2=4x,(2)O,E,H三点共线


解析:

(1)设M(x,y)为轨迹上任意一点,

A(0,b),Q(a,0)(a≥0),

=(x,y-b),=(a-x,-y),

=-

∴(x,y-b)=-(a-x,-y),

,从而.

∴A,且=, =.

·=0,

·=0,即3x-y2=0,

∴y2=4x,故M点的轨迹方程为y2=4x.

(2)轨迹C的焦点为F(1,0),准线为l:x=-1,对称轴为x轴.设直线m的方程为y=k(x-1)(k≠0),

ky2-4y-4k=0,

设G(x1,y1),H(x2,y2),

则由根与系数的关系得,y1y2=-4,

又由已知=(-1,y1),=,

∴(-1)×y2-y1×=-y2-·y2=-y2+y2=0,

,故O,E,H三点共线.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P(3,0),点A、B分别在x轴负半轴和y轴上,且
BP
BA
=0,点C满足
AC
=2
BA
,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点Q(1,0)且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N,若D(-1,0),且
DM
DN
>0,求k的取值范围.

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已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且
PA
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=0
QM
=2
AQ
.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.

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