Question

如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，∠BAC=∠BC₁C=90°，A₁C₁=a，C₁B=2a．
（I）求证AB⊥平面AA₁C₁C；
（II）求证C₁C⊥平面ABC₁；
（III）求AC与BC₁所成的角．

Answer 1

分析：（I）证明AB垂直平面AA₁C₁C内的两条相交直线AA₁，AC，即可证明结论；
（II）只需证明C₁C垂直平面ABC₁内的两条相交直线AB，BC₁，即可证明直线与平面垂直；
（III）连接A₁B，说明AC与BC₁所成的角是∠BC₁A₁（或它的补角）通过证明三角形A₁C₁B是直角三角形，即可求解AC与BC₁所成的角．

解答：解：（I）∵侧棱AA₁⊥平面ABC，
AB?平面ABC，∴AA₁⊥AB，
又∵∠BAC=90°∴AB⊥AC，
AA₁∩AC=A，
从而AB⊥平面AA₁C₁C…（4分）
（II）由（I）可知AB⊥平面AA₁C₁C，C₁C?平面AA₁C₁C，
∴C₁C⊥AB
又∵C₁C⊥BC₁并且AB∩BC₁=B，
∴C₁C⊥平面ABC₁…（8分）
（III）连接A₁B，∵AC∥A₁C₁∴AC与BC₁所成的角是∠BC₁A₁（或它的补角）
∵A₁C₁⊥A₁B₁，A₁C₁⊥A₁A，，A₁A∩A₁B₁=A₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁
∵BA₁?平面A₁ABB₁∴A₁C₁⊥A₁B
在直角三角形A₁C₁B中，A₁C₁=a，C₁B=2a
∠BC₁A₁=60°
即  异面直线AC与BC₁所成的角为60°…（15分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面垂直的证明，直线与直线所成的角的判断与求解，考查空间想象能力，计算能力．