Question

【题目】如图，设点F1(－c，0)、F2(c，0)分别是椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．

⑴求椭圆C的方程；

⑵若动直线l1，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出B坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】⑴⑵满足题意的定点B(－1，0)或B(1，0)

【解析】

试题分析：（1）设P（x，y），可得向量坐标关于x、y的形式，从而得到，结合点P为椭圆C上的点，化简得，说明最小值为，从而解出，得到椭圆C的方程．（2）当直线斜率存在时，设它们的方程为y=kx+m与y=kx+n，与椭圆方程联解并利用根的判别式列式，化简得且，从而得到m=-n．再假设x轴上存在B（t，0），使点B到直线的距离之积为1，由点到直线的距离公式列式，并化简去绝对值整理得或，再经讨论可得t=±1，得B（1，0）或B（-1，0）．最后检验当直线斜率不存在时，（1，0）或（-1，0）到直线l1，l2的距离之积与等于1，从而得到存在点B（1，0）或B（-1，0），满足点B到的距离之积恒为1

试题解析：⑴设，则有

，

由最小值为0得，

∴椭圆C的方程为．

⑵①当直线斜率存在时，设其方程为

把的方程代入椭圆方程得

∵直线与椭圆C相切，∴△，化简得

同理，

∴，若，则重合，不合题意，∴

设在x轴上存在点，点B到直线在距离之积为1，则

，即，

把代入并去绝对值整理，

或者

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立

则，解得；即或

②当直线斜率不存在时，其方程为和，

定点(－1，0)到直线的距离之积为；

定点(1，0)到直线的距离之积为；

综上所述，满足题意的定点B(－1，0)或B(1，0)