Question

16．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND．
（Ⅰ）求证：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求直线SD与平面BDM所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点H，以A为原点，以AD，AH，AS为坐标轴建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{CN}$和平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，利用数量积证明$\overrightarrow{CN}$⊥$\overrightarrow{n}$即可得出结论；
（2）通过计算cos＜$\overrightarrow{DS}$，$\overrightarrow{n}$＞即可得出直线SD与平面BDM所成的角的正弦值．

解答 证明：（I）∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，
∴AH⊥BC，又BC∥AD，
∴AD⊥AH．
取BC的中点H，以A为原点，以AD，AH，AS为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示：
则D（4，0，0），M（0，0，1），S（0，0，4），B（-2，2$\sqrt{3}$，0），C（2，2$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{CD}$=（2，-2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DS}$=（-4，0，4），$\overrightarrow{DB}$=（-6，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DM}$=（-4，0，1），
∴$\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DS}$=（-$\frac{4}{3}$，0，$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DN}$=（$\frac{2}{3}$，-2$\sqrt{3}$，$\frac{4}{3}$），
设平面BDM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4x+z=0}\\{-6x+2\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，4）．
∴$\overrightarrow{CN}•\overrightarrow{n}$=$\frac{2}{3}×1$-2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}×4$=0．
又∵CN?平面BDM，
∴CN∥平面BDM．
（II）$\overrightarrow{DS}•\overrightarrow{n}$=-4+0+16=12，
|$\overrightarrow{DS}$|=$\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{DS}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{DS}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DS}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{10}}{20}$．
∴直线SD与平面BDM所成的角的正弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{20}$．

点评 本题考查了线面平行的判定定理，线面角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．