【题目】已知函数f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)若存在x 使不等式2f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0得x= ,
当x∈(0, )时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
①当0<t<t+2≤ 时,t无解;
②当0<t< <t+2时,即0<t<
时,
=﹣
;
③当 ≤t<t+2时,即t≥
时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;
∴f(x)min= .
(2)解:x 时,
2f(x)≥g(x)即2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,亦即2lnx≥﹣x+a﹣ ,可化为2lnx+x+
≥a,
令h(x)=2lnx+x+ ,则问题等价于h(x)max≥a,
h′(x)= +1﹣
=
,
当x∈[ ,1)时,h′(x)<0,h(x)递减;当x∈(1,e]时,h′(x)>0,h(x)递增;
又h( )=2ln
+
+3e=3e+
﹣2,h(e)=2lne+e+
=e+
+2,
而h(e)﹣h( )=﹣2e+
+4<0,所以h(e)<h(
),
故x 时,h(x)max=h(
)=3e+
﹣2,
所以实数a的取值范围是:a≤3e+ ﹣2.
【解析】(1)对函数求导,根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间,讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系,在不同条件下做出函数的最值;(2)2f(x)≥g(x)可化为2lnx+x+ ≥a,令h(x)=2lnx+x+
,则问题等价于h(x)max≥a,利用导数可求得x
时h(x)max;
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】淘宝网卖家在某商品的所有买家中,随机选择男、女买家各50位进行调查,他们的评分等级如下表:
(1)从评分等级为(4,5]的人中随机选取2人,求恰有1人是男性的概率.
(2)现规定评分等级在[0,3]为不满意该商品,在(3,5]为满意该商品.完成下列2×2列联表,并帮助卖家判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否满意该商品与性别有关.
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【题目】线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始________h后,两车的距离最小.
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【题目】已知椭圆E:=1(a>b>0)过点A
,离心率为
,点F1,F2分别为其左、右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点P,Q,且?若存在,求出该圆的方程,并求|PQ|的最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB、CD是圆的两条平行弦,BE∥AC,BE交CD于E、交圆于F,过A点的切线交DC的延长线于P,PC=ED=1,PA=2.
(1)求AC的长;
(2)试比较BE与EF的长度关系.
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【题目】设分别为椭圆
的左、右焦点,点
为椭圆
的左顶点,点
为椭圆
的上顶点,且
.
(1)若椭圆的离心率为
,求椭圆
的方程;
(2)设为椭圆
上一点,且在第一象限内,直线
与
轴相交于点
,若以
为直径的圆经过点
,证明:点
在直线
上.
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【题目】已知点A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),=(3λ,4λ)(λ≠0),
=-4
,若抛物线y2=ax经过A和B两点,则a的值为( )
A. 2 B. -2
C. -4 D. 4
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