Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，cosB=

3

4

．
（1）若ac=2，求a+c的值；
（2）求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

分析：（1）先由a，b，c成等比数列，得到b²=ac，再由余弦定理，求出结果．
（Ⅰ）首先对所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，和sinB的值代入即可求出值；

解答：解：（1）因a，b，c成等比数列，所以b²=ac，再由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，代入可得a²+c²=5，则（a+c）²=a²+c²+2ac=9，所以a+c=3．
（2）化简

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

cosAsinC+sinAcosC

sinA•sinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

又因b²=ac，则由正弦定理得sin²B=sinAsinC，代入上式，
有

1

tanA

+

1

tanC

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

．

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用余弦定理及等比数列的性质化简求值，是一道中档题．