Question

已知两个不共线的向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），则以下结论中正确的有（　　）
①（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）　                      
②

a

与

b

的夹角为α-β
③|

a

+

b

|＜2                               
④

a

与

b

在

a

+

b

方向上的投影相等．

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、①③

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：由已知条件，利用平面向量的数量积、向量的夹角公式、向量的模、向量的投量求解．

解答： 解：∵两个不共线的向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴在①中：（

a

+

b

）•（

a

-

b

）
=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）•（cosα-cosβ，sinα-sinβ）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0，
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

），故①正确；
在②中：cos＜

a

，

b

＞=

cosαcosβ+sinαsinβ

1×1

=cos（α-β），
∴

a

与

b

的夹角为α-β，故②正确；
在③中：|

a

+

b

|=|cosα+cosβ，sinα+sinβ|
=

(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2

=

2+2cosαcosβ+2sinαsinβ

=

2+2cos(α-β)

≤2，故③错误；
在④中：

a

在

a

+

b

方向上的投影为：
|

a

|•cos＜

a

，

a

+

b

＞=

cosα•(cosα+cosβ)+sinα(sinα+sinβ)

| a + b |

=

1+cos(α-β)

| a + b |

．

b

在

a

+

b

方向上的投影为：
|

b

|•cos＜

b

，

a

+

b

＞=

cosβ(cosα+cosβ)+sinβ(sinα+sinβ)

| a + b |

=

1+cos(α-β)

| a + b |

．
∴

a

与

b

在

a

+

b

方向上的投影相等，故④正确．
故选：B．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量知识的合理运用．