Question

数列{a_n}满足a₁=1，an=

2 a 2 n-1 +1

(n≥2，n∈N*)．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）根据（1）猜想到数列{a_n}的通项公式，用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据递推关系an=

2 a 2 n-1 +1

(n≥2，n∈N*)，分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）根据（1）猜想an=

2n-1

(n∈N*)，然后利用数学归纳法进行证明，证明的关键时式子是ak+1=

2 a 2 k +1

=

2(2k-1)+1

=

2k+1-1

．

解答：解：（1）由a₁=1，an=

2 a 2 n-1 +1

(n≥2，n∈N*)
可求得：a₁=1，a2=

3

，a3=

7

，a4=

15

，a5=

31

…（4分）
（2）根据（1）猜想an=

2n-1

(n∈N*)数学归纳法证明如下：…（5分）
（Ⅰ）当n=1时，a1=

22-1

=1结论显然成立    …（7分）
（Ⅱ）假设当n=k时结论成立，即ak=

2k-1

…（9分）
则：n=k+1时，ak+1=

2 a 2 k +1

=

2(2k-1)+1

=

2k+1-1

这表明 n=k+1时结论成立       …（12分）
综上  由（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切n∈N^*都有an=

2n-1

(n∈N*)成立 …（14分）

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及数学归纳法的运用，同时考查了计算化简能力，属于中档题．