Question

如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=PB．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．
（3）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明平面PCD⊥平面PAC，只要证明CD⊥平面PAC，只要证明CD⊥AC、CD⊥PA即可；
（2）当E是PA的中点时，取PD的中点G，连接BE、EG、CG，证明四边形BEGC是平行四边形，利用线面平行的判定可证BE∥平面PCD；
（3）作FM⊥PD，连接CM，则可证∠CMF为二面角A-PD-C的平面角，求出FM、CM的长，即可得到二面角A-PD-C的余弦值．
解答：（1）证明：∵AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的，∴AD=2BC
作CF⊥AD，垂足为F，则F为AD的中点，且AD=2CF，所以∠ACD=90°
∴CD⊥AC
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA
又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；
（2）E是PA的中点
当E是PA的中点时，取PD的中点G，连接BE、EG、CG，则EG∥AD∥BC，EG=AD=BC
∴四边形BEGC是平行四边形
∴BE∥CG
∵BE?平面PCD，CG?平面PCD
∴BE∥平面PCD
（3）解：作FM⊥PD，连接CM，则
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD
∴CF⊥平面ABCD
∵FM⊥PD，∴CM⊥PD，
∴∠CMF为二面角A-PD-C的平面角
设CF=a，则在△PAD中，，∴FM=
∴CM=
∴二面角A-PD-C的余弦值为
点评：本题考查面面垂直，考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直、线面平行的判定定理，作出面面角．