Question

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈R^*都成立，我们称数列{c_n}是“K类数列”．
（Ⅰ）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}，{b_n}是否为“K类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{c_n}是“K类数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“K类数列”；
（Ⅲ）若数列a_n满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2012项的和．并判断{a_n}是否为“K类数列”，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由数列通项，可得a_n+1=a_n+2，b_n+1=2b_n，对照新定义，即可得到结论；
（II）若数列{a_n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，从而可得（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，即可得到结论；
（III）利用等比数列的求和公式，可求数列{a_n}前2012项的和，利用新定义，可以判断{a_n}是“K类数列”．

解答：（Ⅰ）解：因为a_n=2n，所以有a_n+1=a_n+2，n∈N^*
故数列{a_n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为1，2；    …（1分）
因为bn=3•2n，所以有b_n+1=2b_n，n∈N^*．
故数列{b_n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为2，0．…（3分）
（Ⅱ）证明：若数列{a_n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
故数列{a_n+a_n+1}也是“κ类数列”，对应的实常数分别为p，2q．                          …（6分）
（Ⅲ）因为 an+an+1 =3t•2n (n∈N*)，所以有a₁+a₂=3t•2，a3+a4 =3t•23 …，a2009+a2010 =3t•22009a2011+a2012 =3t•22011
故数列{a_n}前2012项的和S₂₀₁₂=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₂₀₀₉+a₂₀₁₀）+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂）=3t•2+3t•2³+…+3t•2²⁰⁰⁹+3t•2²⁰¹¹=2t（2²⁰¹²-1）…（9分）
若数列{a_n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
而an+an+1 =3t•2n (n∈N*)，且an+1+an+2=3t•2n+1(n∈N*)，
则有3t•2ⁿ⁺¹=3t•p2ⁿ+2q对于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
当p=2，q=0时，a_n+1=2a_n，an=2n，t=1，经检验满足条件．
当t=0，q=0时，a_n+1=-a_n，an=2(-1)n-1，p=-1经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0时，数列{a_n}是“κ类数列”．
对应的实常数分别为2，0或-1，0．               …（13分）

点评：本题考查新定义，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．