Question

（2011•盐城模拟）（选修4-5：不等式选讲）
已知a，b，c为正数，且a²+a²+c²=14，试求a+2b+3c的最大值．

Answer 1

分析：设向量

m

=(a，b，c)，

n

=(1，2，3)，结合数量积的性质|

m

•

n

|≤

|m|

•

|n|

，可得|a+2b+3c|≤

a2+b2+c2

•

14

，即|a+2b+3c|≤14，由此可得a+2b+3c的最大值．

解答：解：设向量

m

=(a，b，c)，

n

=(1，2，3)，可得

|m|

=

a2+b2+c2

，

|n|

=

12+22+32

=

14

，

m

•

n

=a+2b+3c
∵

m

•

n

=

|m|

•

|n|

cosθ，|cosθ|≤1（θ为向量

m

、

n

的夹角）
∴|

m

•

n

|≤

|m|

•

|n|

，可得|a+2b+3c|≤

a2+b2+c2

•

14

∵a²+a²+c²=14，
∴|a+2b+3c|≤14，可得-14≤a+2b+3c≤14
当且仅当a：b：c=1：2：3时，即a=1，b=2，c=3时，a+2b+3c取最大值14．

点评：本题已知a、b、c三个数的平方和的值，求a+2b+3c的最大值．着重考查了空间向量数量积的性质和柯西不等式求最值等知识，属于基础题．