Question

（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD的中点．

（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；
（II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A₁M﹣N的余弦值．

Answer 1

（I）见解析（II）

（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC
∵直线l?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，
∴直线l∥平面A₁BC，
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l
∵AA₁⊥平面ABC，l?平面ABC，∴AA₁⊥l
∵AD、AA₁是平面ADD₁A₁内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD₁A₁；
（II）连接A₁P，过点A作AE⊥A₁P于E，过E点作EF⊥A₁M于F，连接AF
由（I）知MN⊥平面A₁AE，结合MN?平面A₁MN得平面A₁MN⊥平面A₁AE，
∵平面A₁MN∩平面A₁AE=A₁P，AE⊥A₁P，∴AE⊥平面A₁MN，
∵EF⊥A₁M，EF是AF在平面A₁MN内的射影，
∴AF⊥A₁M，可得∠AFE就是二面角A﹣A₁M﹣N的平面角
设AA₁=1，则由AB=AC=2AA₁，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1
Rt△A₁AP中，A₁P==；Rt△A₁AM中，A₁M=
∴AE==，AF==
∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==
即二面角A﹣A₁M﹣N的余弦值等于．