Question

设关于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R），若方程有实数解，实数b的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根是否有根的判断方法，易构造出一个关于b的不等式，解不等式即可得到实数b的取值范围．

解答：解：令t=2^x（t＞0）
则原方程可化为：t²-2t-b=0（t＞0）
关于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R），若方程有实数解，
即方程t²-2t-b=0有正根
∵t₁+t₂=

1

2

＞0
∴当△=4+4b≥0时，即可满足条件
即b≥-1
故答案为：[-1，+∞）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断．