Question

已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线C：x²=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是

1

2

时，

AC

=4

AB

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根据

AC

=4

AB

求得y₂=4y₁，最后联立方程求得y₁，y₂和p，则抛物线的方程可得．
（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x₁+x₂，进而求得x₀，利用直线方程求得y₀，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．

解答：解：（1）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由已知k₁=

1

2

时，l方程为y=

1

2

（x+4）即x=2y-4．
由

x2=2py x=2y-4

得2y²-（8+p）y+8=0
①②∴

y1y2=4 y1+y2= 8+p 2

又∵

AC

=4

AB

，∴y₂=4y₁③
由①②③及p＞0得：y₁=1，y₂=4，p=2，即抛物线方程为：x²=4y．

（2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x₀，y₀）
由

x2=4y y=k(x+4)

得：x²-4kx-16k=0④
∴x0=

xA+xB

2

=2k，y0=k(x0+4)=2k2+4k．
∴BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-

1

k

(x-2k)
∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k²+4k+2=2（k+1）²
对于方程④由△=16k²+64k＞0得：k＞0或k＜-4．
∴b∈（2，+∞）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解决此类问题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．