【题目】已知数列,
满足
,
,且
,
.
(1)求及
;
(2)猜想,
的通项公式,并证明你的结论;
(3)证明:对所有的,
.
【答案】(1),
,
,
,
,
;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)依次把n=1,2,3代入递推式即可求出{an},{bn}的前4项;
(2)利用数学归纳法证明猜想;
(3)利用放缩法证明不等式左边,利用函数单调性证明不等式右边.
试题解析:
(1)因为,
,且
,
令,得到
解得
,
;同理令
分别解得由此可得
,
,
,
;
(2)证明:猜测,
,
用数学归纳法证明:①当时,由上可得结论成立.
②假设当时,结论成立,即
,
,
那么当时,
,
,所以当
时,结论也成立.
由①②,可知,
对一切正整数都成立.
(3)由(2)知, ,
于是所证明的不等式即为
(ⅰ)先证明:
因为,所以
,从而
,
即,所以
(ⅱ)再证明
设函数,
,则
,
.
因为在区间上
为增函数,
所以当时,
,
从而在区间
上为单调递减函数,
因此对于一切
都成立,因为当
时,
,
所以
综上所述,对所有的,均有
成立.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知圆的参数方程为
(
为参数),若
是圆
与
轴正半轴的交点,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,设过点
的圆
的切线为
.
(1)求直线的极坐标方程;
(2)求圆上到直线
的距离最大的点的直角坐标.
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【题目】计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站,过去
年的水文资料显示,水库年入流量
(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,不足
的年份有
年,不低于
且不超过
的年份有
年,超过
的年份有
年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来年中,设
表示流量超过
的年数,求
的分布列及期望;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:
年入流量 | |||
发电机最多可运行台数 |
若某台发电机运行,则该台年利润为万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损
万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
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【题目】已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求该圆的半径r的取值范围;
(3)求圆心C的轨迹方程.
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【题目】下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )
A. 某校高三(1)班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人
B. 两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
C. 由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质
D. 在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+
)(n≥2),由此归纳出{an}的通项公
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