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如图,已知双曲线(a>0,b>0)其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,若点D满足:(O为原点)且
(1)求双曲线的离心率;
(2)若a=2,过点B的直线l交双曲线于 M、N两点,问在y轴上是否存在定点C,使?为常数,若存在,求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)先根据条求出A,B,P三点的坐标,结合求出D的坐标,再根据即可求出a和b之间的关系,进而求出曲线的离心率;
(2)先假设存在定点C(0,n)使为常数u,设MN的方程为y=kx-1;联立直线方程与双曲线方程求出M,N的坐标与k之间的关系以及k所满足的范围;再求出的值结合为常数即可得出结论.
解答:解:(1)由题得B(0,-b),A(,P(c,
∵2
∴D为线段FP的中点  (1分)
∴D(c,

即A、B、D共线(2分)
∴而?,
?∴-得a=2b
∴e=(4分)?
(2)∵a=2而e=
∴双曲线方程为①(5分)
∴B(0,-1)
假设存在定点C(0,n)使为常数u,设MN的方程为y=kx-1   ②(6分)
由②代入①得(1-4k2)x2+8kx-8=0
由题意得
设M(x1,y1),N(x2,y2),
?(8分)
?
=?
整理得:[4(n+1)2-8n-4u]k2+[8-(n+1)2+u]=0     (10分)
对满足
解得n=4,u=17
故存在y轴上的定点C(0,4),使为常数17    (14分)
点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用,认真审题,仔细解答.其中问题(2)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(b>a>0)且a∈[1,2],它的左、右焦点为F1,F2,左右顶点分别为A、B.过F2作圆x2+y2=a2的切线,切点为T,交双曲线与P、Q两点.
(Ⅰ)求证直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直.
(Ⅱ)若M为PF2的中点,O为坐标原点,|OM|-|MT|=1,|PQ|=λ|AB|,求实数λ的取值范围.

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如图,已知双曲线,A,C分别是虚轴的上、下顶点,B是左顶点,F为左焦点,直线AB与FC相交于点D,则∠BDF的余弦值是( )

A.
B.
C.
D.

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如图,已知双曲线,A,C分别是虚轴的上、下顶点,B是左顶点,F为左焦点,直线AB与FC相交于点D,则∠BDF的余弦值是
  [     ]
A.
B.
C.
D.

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