Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，AB=BC=1，PA=AD=2．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求证：CD⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理证明．
（2）利用线面垂直的判定定理证明．

解答：解：（1）取PA的中点F，连结EF，BF，在△PAD中，E是PD的中点，AD=2，
所以EF∥AD，EF=

1

2

AD=1，
又因为AD∥BC，BC=1，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE∥BF．
又因为CF?平面PAB，BE?平面PAB，
所以CE∥平面PAB．
（2）梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2
所以解得AC=

2

，取AD的中点G，连结CG，则AG=GD=1，
所以四边形ABCG是矩形，CG=AB=1．
Rt△CGD中，CD=

2

，
在三角形ACD中，AC²+CD²=AD²，
所以∠ACD=90°，即CD⊥AC．
又因为PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，
所以PA⊥CD，
又PA?面PAC，AC?面PAC，PA∩AC=A，
所以CD⊥平面PAC．

点评：本题主要考查线面平行和垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理的应用．