Question

如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36米长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为24 m²，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设每间虎笼长为x米，宽为y米，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18． 　　设每间虎笼的面积为S，则S＝xy． 　　方法一：由于2x＋3y≥2＝2， 　　∴2≤18，得xy≤，即S≤． 　　当且仅当2x＝3y时等号成立． 　　由解得 　　故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大． 　　方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y． 　　∵x＞0，∴0＜y＜6．S＝xy＝(9－y)y＝(6－y)y． 　　∵0＜y＜6，∴6－y＞0．∴S≤[]2＝． 　　当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大． 　　(2)由条件知S＝xy＝24．设钢筋总长为l，则l＝4x＋6y． 　　方法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24， 　　∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时等号成立． 　　由解得 　　故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋总长最小． 　　方法二：由xy＝24，得x＝． 　　∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6(＋y)≥6×＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6． 　　故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋总长最小． 　　思路解析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy＝24的前提下来求4x＋6y的最小值．因此，使用极值定理解决．

提示：

在使用极值定理求函数的最大值或最小值时，要注意： 　　(1)x，y都是正数； 　　(2)xy(或x＋y)为定值； 　　(3)x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论．